Ecuaciones Diferenciales

 Homogéneas

          

              La ecuación diferencial M( x, y) dx + N (x, y) dy  = 0 es  homogénea sí M y N son 

          funciones homogéneas del mismo grado, o también si la ecuación puede escribirse como:  

  

 

            

 

                       

            Definición de función Homogénea

                     Sea la función  Z = ƒ(x, y), se dice que es homogénea de grado "n" si se 

            verifica que f( tx, ty) = t f( x, y) ; siendo "n"  un número real. En muchos casos se 

            puede  identificar el grado de homogeneidad de la función, analizando el grado de

            cada término:

                          

                      

 

                                              

                   Ejemplos:                    

   a) f( x ,y) = x² y² + 5x³ y - y 4, aplicando la definición se tiene:
      f( tx,  ty) =  (tx)²  ( ty)²  + 5 (tx)³ (ty) - ( ty )4        
      f( tx,  ty) =  t4  x² y² + 5 t4 x³ y - t4 y4
      f(tx, ty ) = t4 (x2 y + 5x3 y - y4 )
       f( tx,  ty) =  t4   f ( x, y)   

                        Por lo tanto la función es homogénea de grado 4

            

                     b)                  

f( tx, ty) = t0 f(x,y)

                 

                         Entonces la ƒ(x ,y) es Homogénea de grado 0

                            c)              

f ( x, y) = 5xy + 3x ,  No es una función homogénea ya  que:

f (tx, ty) = 5 ( tx, ty) + 3 tx
f (tx, ty) =  5 t2 xy + 3 tx     
f ( tx, ty)=  t( 5 t xy + 3x ) ≠  tn ( 5 xy + 3x) 
f ( tx, ty) ≠  tn f(x,y) 

                          Si se determina que en la ecuación M ( x, y )dx + N (x, y) dy = 0;  M y N 

                    son funciones homogéneas del mismo grado, o si la ecuación puede escribirse

                    como:

 

 

 

el cambio de variable

  y =  v . x       ó       x = v .  y 

  transforma la Ecuación Homogénea en 

Ecuación Separable  

 

           

      Ejemplo 1 

     x y² y' = x³ + y³  
reescribiendo la ecuación se tiene:
     
     x y² dy = ( x³ +  y³) dx 
 transponiendo los términos se tiene:
       ( x³ + y³ ) dx - x y² dy = 0 ,   donde M = ( x³ + y³) y  N = - x y² 
 M y N  son funciones homogéneas  de grado 3

Probando:

   Sea M = ƒ( x , y) entonces:
    ƒ( tx , ty) = ( tx) ³ + (ty)³
    ƒ( tx , ty) = t³ x³ + t³ y³
    ƒ( tx , ty) = t ³ ( x³ + y ³)
    ƒ( tx , ty) = t³ ƒ ( x , y)

                visto de otra manera ƒ ( x , y) = x³ + y³, ambos términos de la

              ecuación son de grado 3 por lo tanto ƒ(x ,y) es homogénea de grado 3

                    

Sea N = -xy2 =  g(x,y)  
 entonces:
     g ( tx, ty) = - (tx) (ty)²
     g ( tx, ty) =  - t x t² y²
     g ( tx, ty) =   -t ³ x y ²
     g ( tx, ty) = t³ (- x y ²)
     g ( tx, ty) = t³  g (x, y )

                     por lo tanto "N" es homogénea de grado 3

        

                      Se puede enfocar también de la siguiente manera:                        

x y ² y` = x³ + y³

                     luego el cambio de variable       

                                   

 

                       ó    y = v . x  

                     su derivada es:     

                          dy= vdx + x dv  

                    transforma la ecuación en separable

x y² dy = ( x³ + y³ )dx
( x v² x²) ( vdx + x dv) = ( x³ + (vx) ³) dx   
x³ v² (vdx + xdv ) = (x³ + v³ x³)dx
x³ v³ dx + x 4 v² dv= x³ dx + x ³ v³ dx

 

                       reduciendo términos semejantes se tiene:                     

x4 v² dv  = x³ dx

                    integrando se obtiene:  

                                 

                                

                     devolviendo el cambio de variable se tiene:

                     si y = v . x  entonces     

               Ejemplo 2:

     
reescribiendo la ecuación se tiene:
     
despéjese  
     
     
      
     
      
se aprecia que    
       
por lo tanto el cambio de variable  y = v.x, y su derivada dy = vdx + xdv,  de lo cual resulta:     
      
transformará la ecuación en separable            
           
transponiendo dx 
         
simplificando
        
transponiendo términos de nuevo
         
integrando

              

                    intégrese arctg v usando método de integración por partes, comenzando con el

                     cambio de variables se tiene: 

                    Cambio de variables:                  

            arctg v = u
derivando:
            
            dv dt 
             dv= dt  => v = t     
integrando mediante la aplicación de la fórmula  
            ∫u . dt = u .t - t . du
resulta   
                
la integral  
           
se resuelve por:       

                   Cambio de variables:       

      1 + v²  = z  

      2 v. dv dz   

     
sustituyendo en la integral  se obtiene: 
        
regresando el cambio de variable
        
por lo tanto la integral
      
sustituyendo este resultado en la integral (a) se concluye que 
        
simplificando y devolviendo  el cambio 
        
se obtiene: 
       
       
        
       
      
buscando la inversa de la función logarítmica resulta:
                                 

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                                                                                                                                                              Profesora: Maritza de Franco