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Ecuaciones Diferenciales Homogéneas |
La ecuación diferencial M( x, y) dx + N (x, y) dy = 0 es homogénea sí M y N son
funciones homogéneas del mismo grado, o también si la ecuación puede escribirse como:
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Definición de función Homogénea
Sea la función Z = ƒ(x, y), se dice que es homogénea de grado "n" si se
verifica que f( tx, ty) = tⁿ f( x, y) ; siendo "n" un número real. En muchos casos se
puede identificar el grado de homogeneidad de la función, analizando el grado de
cada término:
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Ejemplos:
| a) f( x ,y) = x² y² + 5x³ y - y 4, aplicando la definición se tiene: |
| f( tx, ty) = (tx)² ( ty)² + 5 (tx)³ (ty) - ( ty )4 |
| f( tx, ty) = t4 x² y² + 5 t4 x³ y - t4 y4 |
| f(tx, ty ) = t4 (x2 y2 + 5x3 y - y4 ) |
| f( tx, ty) = t4 f ( x, y) |
Por lo tanto la función es homogénea de grado 4
b)
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| f( tx, ty) = t0 f(x,y) |
Entonces la ƒ(x ,y) es Homogénea de grado 0
c)
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f ( x, y) = 5xy + 3x , No es una función homogénea ya que: |
| f (tx, ty) = 5 ( tx, ty) + 3 tx |
| f (tx, ty) = 5 t2 xy + 3 tx |
| f ( tx, ty)= t( 5 t xy + 3x ) ≠ tn ( 5 xy + 3x) |
| f ( tx, ty) ≠ tn f(x,y) |
Si se determina que en la ecuación M ( x, y )dx + N (x, y) dy = 0; M y N
son funciones homogéneas del mismo grado, o si la ecuación puede escribirse
como:
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y = v . x ó x = v . y transforma la Ecuación Homogénea en Ecuación Separable
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Ejemplo 1
| x y² y' = x³ + y³ |
| reescribiendo la ecuación se tiene: |
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| x y² dy = ( x³ + y³) dx |
| transponiendo los términos se tiene: |
| ( x³ + y³ ) dx - x y² dy = 0 , donde M = ( x³ + y³) y N = - x y² |
| M y N son funciones homogéneas de grado 3 |
Probando: |
| Sea M = ƒ( x , y) entonces: |
| ƒ( tx , ty) = ( tx) ³ + (ty)³ |
| ƒ( tx , ty) = t³ x³ + t³ y³ |
| ƒ( tx , ty) = t ³ ( x³ + y ³) |
| ƒ( tx , ty) = t³ ƒ ( x , y) |
visto de otra manera ƒ ( x , y) = x³ + y³, ambos términos de la
ecuación son de grado 3 por lo tanto ƒ(x ,y) es homogénea de grado 3
| Sea N = -xy2 = g(x,y) |
| entonces: |
| g ( tx, ty) = - (tx) (ty)² |
| g ( tx, ty) = - t x t² y² |
| g ( tx, ty) = -t ³ x y ² |
| g ( tx, ty) = t³ (- x y ²) |
| g ( tx, ty) = t³ g (x, y ) |
por lo tanto "N" es homogénea de grado 3
Se puede enfocar también de la siguiente manera:
| x y ² y` = x³ + y³ |
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luego el cambio de variable
ó y = v . x
su derivada es:
dy= vdx + x dv
transforma la ecuación en separable
| x y² dy = ( x³ + y³ )dx |
| ( x v² x²) ( vdx + x dv) = ( x³ + (vx) ³) dx |
| x³ v² (vdx + xdv ) = (x³ + v³ x³)dx |
| x³ v³ dx + x 4 v² dv= x³ dx + x ³ v³ dx |
reduciendo términos semejantes se tiene:
| x4 v² dv = x³ dx |
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integrando se obtiene:
devolviendo el cambio de variable se tiene:
si y = v . x entonces
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Ejemplo 2:
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| reescribiendo la ecuación se tiene: |
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| despéjese |
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| se aprecia que |
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| por lo tanto el cambio de variable y = v.x, y su derivada dy = vdx + xdv, de lo cual resulta: |
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| transformará la ecuación en separable |
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| transponiendo dx |
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| simplificando |
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| transponiendo términos de nuevo |
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| integrando |
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intégrese arctg v usando método de integración por partes, comenzando con el
cambio de variables se tiene:
Cambio de variables:
| arctg v = u |
| derivando: |
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| dv = dt |
| ∫ dv= ∫ dt => v = t |
| integrando mediante la aplicación de la fórmula |
| ∫u . dt = u .t - ∫ t . du |
| resulta |
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| la integral |
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| se
resuelve por:
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Cambio de variables:
| 1 + v² = z |
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2 v. dv = dz |
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| sustituyendo en la integral se obtiene: |
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| regresando el cambio de variable |
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| por lo tanto la integral |
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| sustituyendo este resultado en la integral (a) se concluye que |
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| simplificando y devolviendo el cambio |
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| se obtiene: |
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| buscando la inversa de la función logarítmica resulta: |
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Profesora: Maritza de Franco
